Про спрощення числа Пі

Багато речей стають можливими, коли π = 3
Many things become possible, when Pi = 3

Вираз, винесений в епіграф, є лемою, себто виразом, корисним при доведенні інших виразів, тез, теорем тощо. Попри свою наочну гумористичність, він є настільки глибоким і багатовимірним, що його слід би було розмістити поруч із тотожністю Ейлера e^(i*π) +1=0, значно вище за вислів Декарта «мислю, отже існую» і попереду категоричного імперативу Канта. Вираз пов’язаний із принципом аналогії Гермеса Трисмегіста і може використовуватися як коан в дзен-буддизмі. Сліди і вплив наведеної леми можна знайти в багатьох галузях людського життя, від окультних наук до філософії і фізики Всесвіту, від геометрії до юриспруденції.

Отже, чому ж ця лема є настільки цікавою?

Почнемо з визначень. Число π означає співвідношення довжини кола і його діаметру в класичній Евклідовій геометрії. Число є іраціональним – його не може бути виражено скінченою кількістю цифр. Водночас, як У-Янус і А-Янус в повісті братів Стругацьких «Понеділок починається в суботу», це число має два «обличчя» - геометричне, наведене вище, і математичне, що випливає з певних формул. Причому, математичний бік константи нічим не відрізняється від інших іраціональних чисел, тому нас в контексті цього есею не дуже цікавить. Ми ж розглянемо ті прояви, що походять з геометричної природи числа π.

Формальна логіка стверджує, що з істиного твердження можна зробити істиний висновок; з хибного ж твердження можна зробити все, що завгодно. Цьому відповідає принцип програмування «сміття на вході – сміття на виході» (garbage in – garbage out, the GIGO principle). Лема є ілюстрацією такого принципу: хибне значення константи на вході робить «можливими» речі, що є неможливими при істиному  значенні константи. Звісно, насправді магічного проявлення цих речей у всесвіті, що спостерігається, не відбудеться. Це те саме «сміття на виході».

Але чи є твердження щодо π = 3 хибним? Зовсім необов’язково. Оскільки значення π є числом іраціональним, будь-яке значення, що береться для практичного використання, є наближенням, а отже за великою мірою хибним.

Різноманітні натурфілософи, а пізніше, математики і програмісти намагалися вирахувати якомога більшу кількість цифр в числі π. Такі обрахунки з часом вийшли за межі практичної потреби, і їх цілком можна вважати марнуванням обчислювальних ресурсів. Лема вказує на  обмежену цінність цих обрахунків. Лема також посилається на принцип розумної достатньості. Якщо ми можемо обійтися малими ресурсами, приблизними значеннями, то з метою підвищення ефективності ми мали би це і робити.

Таким чином, лема протиставляє рух сучасного суспільства до ускладнення і, подібно певним філософським і культурним течіям, закликає вести просте життя, вказуючи на безліч нових можливостей, котрі таке життя відкриває.

Число π є складовою великої кількості тверджень в різних галузях науки включно із космологією. Наша лема вказує, що система, в котрій π = 3, матиме зовсім інші властивості, ніж властивості поточного всесвіту. Зокрема, в такому всесвіті діє інша геометрія (і, ймовірно, не одна).

Також є цікавим питання про кількість просторових вимірів такого всесвіту. Сучасна наука розглядає поточний всесвіт як такий, що на макрорівні має рівно три просторові виміри і безперервний простір. Але не є неможливим простір, в котрому кількість вимірів буде дробом або й ірацональним числом. Число π, зокрема, є відображенням ізотропності простору. Тому в просторі, котрий не є ізотропним, значення π відрізнятиметься або буде змінним. Як приклад, можна навести простір, котрий є фракталом. В такому просторі число π може взагалі не бути константою, а залежати від конкретного положення кола.

Власне кажучи, співвідношення довжини кола і його діаметру різнитиметься від константного значення π і в поточному всесвіті поблизу чорних дір та інших надмасивних об’єктів. Це відбувається тому, що евклідову геометрію неможливо застосувати до опису просторово-часового континууму, котрий зазнає впливу таких об’єктів.

Загалом, на ізотропність і рівномірність всесвіту «зав’язана» вся сучасна практична наука, і зміна цієї властивості заводить нас у всесвіт, де можливо не лише багато що, але й все.

Зміна співвідношення довжини кола і його діаметру впливає на таку галузь як теорія ймовірності, де число π в формулах виступає в своїй геометричній формі. Відповідно, зміна значення π на 3 впливатиме на звичайний розподіл і на ймовірності настання різних подій. Якісь події стануть менш ймовірними, а інші, може статися, отримають ненульову ймовірність. Чи хотіли би ви, вийшовши на двір, зустріти динозавра? Один жарт стверджує, що ймовірність зустрічі з динозавром дорівнює 50%: або зустрінете, або не зустрінете.

При розв’язанні інженерних задач лема підказує нам, що іноді для знаходження рішення достатньо спростити певні початкові умови (так званий «сферичний кінь у вакуумі»). А після того, як задачу розв’язано, можна поступово наближатися до реальних умов і розв’язувати ті задачі, котрі виникатимуть в процесі. Такий ітераційний процес розв’язання задач є і ефективнішим за лобову атаку і більш передбачуваним. А в деяких галузях (наприклад, розробка програм) він дозволяє надати результат і отримати відгуки раніше. А це дозволяє економити ресурси, не витрачаючи час на непотрібні або другорядні функції.

Деякі складні задачі можуть не мати розв’язання в умовах обмеженості певних ресурсів або їхньої відсутності. Тоді спрощення параметрів дозволяє розв’язати таку задачу без особливих складнощів. Прикладом може бути будова центральних процесорів сучасних мобільних пристроїв. На відміну від настільних процесорів архітектури x86 від Intel і AMD, мобільні процесори архітектури ARM не містять модуля для операцій з числами, відмінними від цілих. Відповідно, операції  з такими числами вимагають складної програмної реалізації, що є значно повільнішою і енерговитратнішою за апаратну. Якщо ж для певних обчислень можна обійтися в першому наближенні цілими числами, то продуктивність роботи комп’ютера або пристрою істотно зростає. Кажуть, що в перших запусках космічних кораблів, коли потужність обчислювальних систем була мізерною, іноді брали для розрахунків значення π = 3, і цього вистачало.

Однак наша лема не лише про науку і техніку. Вона знаходить застосування і в культурі та мистецтві. Наприклад, творчій людині лема показує, що варто вийти за загальноприйняті «обмежувачі», такі як традиції, корпоративні норми тощо, і можна отримати цікаві і несподівані позитивні результати.

Ще одне використання лема має в політології. Існує різновид принципа GIGO, що стосується суспільних. Він звучить так: «людина, що говорить правду, обмежена цією правдою. Людина, що говорить брехню, не обмежена нічим». Наша лема каже про це саме – якщо використати неправдиву інформацію, то кількість ступенів свободи значно збільшується.

Місцевий законодавчий орган одного зі штатів США колись намагався ухвалити закон, котрий встановлював значення π таким, що дорівнює рівно трьом. Спроба не вдалася, але гарну оцінку за неї поставити можна.  

В метафізичному аспекті лема каже, що відкриття певної неочікуваної істини на іншому плані реальності відкриває весь цей план, а знання правильних чисел слугує дверима в інші світи та навіть виміри.